Legendre多项式(the Legendre polynomial)

Legendre多项式$P_n (x)$ 满足下面的微分方程：

$ (1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} - 2 x \frac{d y}{d x} + n (n+1) y=0 $

此时，

$ P_n (x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n }{d x^n} {(x-1)^n} = \sum _{k=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^k (2 n-2 k)!} {2^n k! (n-k)! (n-2k)!} x^{n-2k} $

其中，[ ]为取整数部分。

在Mathematica中，调用的Legendre多项式为：LegendreP[n,x]。

Table[LegendreP[n, x], {n, 1, 8}] // TableForm

连带Legendre多项式(the associated Legendre polynomial)

$ P_{nm} (x) = (-1)^m (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m }{d x^m} P_n (x)$

其中，$P_{nm} (x)$ 为连带Legendre多项式。

在Mathematica中，调用的连带Legendre多项式为：LegendreP[n,m,x]。

Table[LegendreP[n, m, x], {n, 2, 5}, {m, 2, n}] // TableForm

Plot[{LegendreP[1, x], LegendreP[2, x], LegendreP[3, x], 
  LegendreP[4, x], LegendreP[5, x], LegendreP[6, x], 
  LegendreP[7, x]}, {x, -1, 1}, PlotLegends -> "Expressions" ]

球面调和函数(Spherical Harmonic)

在Mathematica中，调用的球面调和函数SphericalHarmonicY为：

SphericalHarmonicY[n, m, Theta, Lambda]

SphericalPlot3D[
 Re[10 + 4*SphericalHarmonicY[12, 3, theta, phi]], {theta, 0, 
  Pi}, {phi, 0, 2 Pi}, PlotPoints -> 50]